أسس اختبار الفرضيات الإحصائية

أسس اختبار الفرضيات الإحصائية :

قبل التطرق لكيفية إجراء الاختبارات الإحصائية اللامعلمية فإنه سيتم استعراض بعض المفاهيم الضرورية المتعلقة باختبار الفرضيات الإحصائية بصورة عامة سواء كان الاختبار المطلوب إجراؤه معلمياً أو لامعلمياً.

o معلمة مجتمع (Population Parameter) :

إحدى خصائص المجتمع والتي يتم قياسها كمياً كالمتوسط الحسابي والنسبة. ومعلمة المجتمع ثابت (Constant) يتطلب الحصول عليها استخدام أسلوب الحصر الشامل (Census) ويمكن تقدير معلمة مجتمع من بيانات عينة مأخوذة من ذلك المجتمع.

o إحصائية عينة (Sample Ststistic) :

إحدى خصائص العينة والتي يتم قياسها كمياً كالمتوسط الحسابي والنسبة. وتستخدم إحصائية العينة كمقدر لمعلمة المجتمع المقابلة لها ويتطلب الحصول عليها استخدام أحد طرق المعاينة(Sampling Technique) المختلفة. بخلاف معلمة المجتمع، فإن إحصائية العينة متغير عشوائي (Random Variable) له توزيع إحصائي محدد.

o فرض العدمNull Hypothesis

افتراض حول إحدى معلمات المجتمع يتم التحقق من صحته اعتماداً على نظرية الاحتمالات وأسلوب إحصائي مبني على إجراءات محددة.

o الفرض البديل Alternative Hypothesis :

الاختبار (Test Statistic) :

قياس كمي يتم حسابه من بيانات العينة وإحصائية الاختبار متغير عشوائي (Random Variable)يتبع توزيعاً إحصائياً محدداً. o توزيع العدم لإحصائية الاختبار (The Null Distribution of The Test Statistic) :

توزيع إحصائي يتم تحديده بافتراض صحة فرض العدم والذي يعد أساساً في وضع قاعدة لاتخاذ قرار حيال فرض العدم.

o منطقة الرفض (المنطقة الحرجة) :

مجموعة قيم إحصائية الاختبار التي ستؤدي لرفض فرض العدم. ويتم تحديدها اعتماداً على توزيع العدم لإحصائية الاختبار .

o اختبار ذي طرفين (Tow-Tailed Test) (أو ذي اتجاهين Tow-Sided):

و بناء عليه يتم رفض فرض العدم في حالة الحصول على قيم متطرفة (Extreme Values)لإحصائية الاختبار المحسوبة من بيانات العينة سواء كانت تلك القيم كبيرة جداً أو صغيرة جداً و عليه تكون منطقة الرفض مقسمة على طرفي توزيع العدم لإحصائية الاختبار.

اختبار ذي طرف واحد (One-Tailed Test) (أو ذي اتجاه واحد One-Sided) :

و بناء عليه يتم رفض فرض العدم في حالة الحصول على قيم متطرفة (Extreme Values)لإحصائية الاختبار المحسوبة من بيانات العينة في حالة القيم الكبيرة جداً فقط أو القيم الصغيرة جداً فقط و عليه تكون منطقة الرفض على طرف واحد من طرفي توزيع العدم لإحصائية الاختبار.

o القيمة الاحتمالية (P-value) :

احتمال الحصول على قيمة أكبر من أو تساوي (أقل من أو تساوي) إحصائية الاختبار المحسوبة من بيانات العينة أخذاً في الاعتبار توزيع إحصائية الاختبار بافتراض صحة فرض العدم The Null Distribution of Test Statistic وطبيعة الفرض البديل. ويتم استخدام القيمة الاحتمالية لاتخاذ قرار حيال فرض العدم.

o قوة الاختبار (Power of the Test) :

قدرة الاختبار على رفض فرض العدم وهو خاطئ.

o الأخطاء المرتبطة باختبار الفرضيات الإحصائية :

- خطأ من النوع الأول Type І Error :

· رفض فرض العدم وهو صحيح. 

· يتم التحكم فيه من خلال مستوى المعنوية.

- خطأ من النوع الثاني Type І І Error, Β : 

· قبول فرض العدم وهو غير صحيح.

· له صلة وثيقة بقوة الاختبار وفقاً للعلاقة التالية :

الخطأ من النوع الثاني-1= قوة الاختبار 

Power of the test = 1 - Β

وتجدر الملاحظة بأنه لا يمكن التحكم بالخطأين معاً حيث إن تقليل أحدهما يؤدي لزيادة الآخر.

o مستوى المعنوية Significance Level, α :

احتمال الوقوع في خطأ من النوع الأول.

إقرأ المزيـــد

مقدمة حول اختبار الفرضيات

اختبار الفرضيات Test of Hypotheses

يستخدم هذا الاختيار للتأكد من دقة معلومات متوفرة عن المجتمع (الوسط الحسابي مثلاً) بعد وجود تغيرات جديدة في المجتمع قد تكون أثرت على المتوسط الحسابي المعروف حالياً لأحد الباحثين فيرغب بالتأكد من وقوع التغيير أو عدم وقوعه باختبار قيمة المتوسط الآن.

والفروض الإحصائية التي تخضع للاختبار فرضيتين:

1) فرضية العدم null hypotheses ويرمز لها بالرمز Ho متضمنة الهدف المطلوب للاختبار، وقبولها يعني عدم رفض نتائج العينة.

2) الفرضية البديلة alternative hypotheses ويرمز لها بالرمز H1 وتقبل حال رفض Ho والعكس صحيح.

مثال ذلك: اختبار فرضية متوسط وزن الطالب في المجتمع 65 كجم ففرضية العدم تكون: Ho:μ = 65 في حين الفرضية البديلة H1:μ ≠ 65

مثال آخر: لنقل بأن الجامعة قررت إدخال طريقة جديدة في التدريس لمادة ما، فعلى الجامعة التأكد من أن الطريقة الجديدة سترقى بمستوى أداء الطلاب ولكن عليها أن تتخذ قراراً بهذا حتى لا يكون نتاج هذا العمل غير مفيد لاحقاً فلا بد من الاحتكام لدرجات الطالب وليكن متوسطها الحسابي القديم هو μ = 85 فعلينا حساب المتوسط الحسابي الجديد بأخذ عينة من مجتمع الطلاب فأن كان أكبر من 85 فسيحكم بالنجاح للطريقة الجديدة وإلا فسيحكم بعدم النجاح (أقل من أو يساوي 85) ولكن وجود الصدفة بابتعاد نتائج العينة عن واقع المجتمع سيعطي قرار خاطئ وعليه هناك خطورة في اتخاذ القرار بناء على نتائج العينة قد يكلف الكثير من المال والجهد والوقت ولكن يمكن تجاوزه في الأمور الغير خطيرة من باب التساهل ولكن نفرض أن الطريقة الجديدة ليست أفضل من القديمة (فرضية عدم الاختلاف Ho) أو الطريقة الجديدة أفضل من القديمة (فرضية البديل H1) مع تحديد مستوى المعنوية ( α) وهي 0.01 أو 0.05 أو غير ذلك، ولكن يقل مستوى المعنوية إن كنا حريصين على عدم قبول الفرضية الخاطئة وهو درجة احتمال رفض Ho وهو ما يعرف باحتمال الوقوع في الخطأ من النوع الأول (Type 1 error) ويحدث برفض Ho وهي صحيحة والعكس بقبول Ho مع صحة الفرض البديل ويعني الخطأ من النوع الثاني والجدول الآتي يبين ذلك:

فرضية العدم في حقيقتها		القرار
غير حقيقة	حقيقية
صحيحة	الخطأ من النوع الأول (α )	رفض فرضية العدم
الخطأ من النوع الثاني ( β )	صحيحة	قبول فرضية العدم

ولا يمكن التقليل من الخطأ الأول أو الثاني لوجود علاقة عكسية بينهما والتقليل من الخطأ يأتي بزيادة حجم العينة بهدف الحصول على قوة اختبار عالية.

الفرضية البديلة Alternative Hypotheses

هي الفرض الذي يريد الباحث أن يتوصل إليه بما جمع من البيانات وتبين وجود فروق أو اختلاف في النتائج أو أن خصائص العينة تختلف عن خصائص المجتمع وقد تكون متجهة μ1 < μ2 سلباً أو إيجاباً أو غير متجهة μ1 ≠ μ2

الفرضية العدمية (الصفرية) Null Hypotheses

هي عكس فرض البديل وهو الذي يريد الباحث إثبات تناقضه مع البيانات، تبين عدم وجود فروق في النتائج.

مثلاً: إن متوسط القدرة المكانية عند الذكور أعلى منه عند الإناث Ho: μ1 = μ2 , H1: μ1 < μ2 وهي التي يتم اختبارها إحصائياً.

مستوى الدلالة (المعنوية) Level of Significance

تعريفاً هو أقصى احتمال يمكن تحمله من الخطأ الأول، ويرمز لهذا الاحتمال بالرمز α يحدد قبل سحب العينة وعادة يكون 0.05 أو 0.01

احتمال رفض فرضية العدم Ho بينما هو صحيح في الواقع، ويوجد نوعان من مستوى الدلالة، الأول الاسمي ومعروف بـ α ويحدد قبل إجراء الدراسة والثاني مستوى الدلالة الحقيقي وهو احتمال الفشل المحسوب من بيانات العينة فإن كان أقل من الاسمي فترفض الفرضية الصفرية وإلا فالباحث فشل في رفض الفرضية الصفرية أو عدم قبول الفرضية البديلة.

اختبار من جانب واحد أو من جانبين One and two tails of test

الانحراف عن فرضية العدم باتجاه واحد أو أنها موزعة على اتجاهين فإذا كانت فرضية العدم بالصيغة Ho: μ ≥ μo أو Ho: μ ≤ μo فالاختبار من جانب واحد.

وفي الحالة Ho : μ = μo فالتوقع برفضها يكون H1 : μ > μo أو H1 : μ < μo ويعني عدم معلومية الاتجاه فتتوزع على جانبي التوزيع.

قوة الاختبار Testing power

يعرف بـ β وهو يعتمد على: أ) الابتعاد عن Ho ب) حجم العينة n ج) الانحراف المعياري للمجتمع σ د) مستوى المعنوية α هـ) نوع الاختبار (جانب أو جانبين).

يحسب من الصيغة الرياضية:

تذكير بسيط

هناك نوعين من الأخطاء يمكن الوقوع في أحدهما عند إجراء اختبار إحصائي:

1- خطأ من النوع الأول رفض فرض العدم وهو صحيح 

2- خطأ من النوع الثاني قبول فرض العدم وهو خاطئ

تقليل أحد الخطأين يؤدي لزيادة الخطأ الآخر (توجد علاقة انعكاسية بينهم)

الموازنة بين الخطأين تستلزم تقدير الباحث للتكلفة المترتبة على الوقوع في أي من الخطأين.
الخطأ من النوع الأول يتم قياسه بواسطة مستوى المعنوية للاختبار.
الخطأ من النوع الثاني ذو صلة وثيقة بقوة الاختبار (التي تقاس كدالة في الخطأ من النوع الثاني).

إقرأ المزيـــد